On the Quaternionic Focal Curves

Abstract

In this study, a brief summary about quaternions and quaternionic curves are firstly presented. Also, the definition of focal curve is given. The focal curve of a smooth curve consists of the centers of its osculating hypersphere. By using this definition and the quaternionic osculating hyperspheres of these curves, the quaternionic focal curves in the spaces Q and Q? with index ? = {1,2} are discussed. Some relations about spatial semireal quaternionic curves and semi-real quaternionic curves are examined by using focal curvatures and "scalar Frenet equations" between the focal curvatures. Then, the notions: such as vertex, flattenings, a symmetry point are defined for these curves. Moreover, the relation between the Frenet apparatus of a quaternionic curve and the Frenet apparatus of its quaternionic focal curve are presented.

Bu çalışmada, ilk olarak kuaterniyonlar ve kuaterniyonik egriler hakkında kısa bir özet sunulmuş, ayrıca fokal egri tanımı verilmiştir. Düzgün bir eğrinin fokal eğrisi oskülatör hiperküresinin merkezlerinden oluşur. Bu tanım ve bu egrilerin kuaterniyonik öskülatör hiperküreleri kullanılarak, ? = {1,2} olmak üzere Q ve Q? uzaylarında kuaterniyonik fokal egri tanımı ele alınmıştır. Uzaysal yarı-reel kuaterniyonik eğriler ve yarı-reel kuaterniyonik egriler hakkında bazı ilişkiler, fokal eğrilikler ve fokal eğriler arasındaki "skalar Frenet denklemleri" kullanılarak verilmiştir. Ayrıca bu egriler için tepe noktası, basıklık ve simetri noktası gibi kavramlar tanımlanmıştır. Bunların yanında bir kuaterniyonik egrinin Frenet elemanları ve onun kuaterniyonik fokal eğrisinin Frenet elemanları arasındaki ilişki sunulmuştur.