Çoklu solitonlar ve lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemler

Abstract

Soliton, sabit hızla şeklini değiştirmeden hareket eden bir soliter dalgadır. Çoklu solitonlar ise birden fazla soliton barındıran çözümlerdir. Çoklu solitonlar içindeki her bağımsız soliton kendine ait bir hızla hareket eder ve birbirlerini doğrusal olmayacak şekilde etkilerler. Bu etkileşim esnasında şekilleri değişir ve etkileşimden sonra kendi orijinal şekline geri dönerler. Matematikte solitonlar, bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin özel çözümleridir. Bunlar, ilgili adi diferansiyel denklemde geri yansımaz potansiyele karşılık gelir. Bu çalışmanın amacı bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin N-soliton çözümlerinin tam çözüm formüllerini elde etmek için ADV (Aktosun, Demontis, Van der Mee) metodu olarak bilinen genel bir metodu uygulamaktır. Bu lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerden bazıları Korteweg-de Vries, değiştirilmiş Korteweg-de Vries ve lineer olmayan Schrödinger denklemleridir. Bu açık formüller bir A, B, C sabit üçlü matrisi cinsinden yazılır ve üstel matristen faydalanılır. Burada N, herhangi bir pozitif tam sayı olmak üzere A matrisi N×N, B matrisi N×1 ve C matrisi 1×N boyutundadır. A soliton is a solitary wave traveling at a constant speed without changing its shape. Multi-solitons are solutions that contain two or more solitons. Multi-solitons are special in the sense that the individual solitons in them travel at their own speeds and those individual solitons interact nonlinearly with each other. While this interaction their shapes is changed, and they return to their original shapes after the interaction. Solitons in mathematics are special solutions to some nPDE. They correspond to reflectionless potentials in the corresponding linear ordinary differantial equations. The aim of this thesis is to apply a general method by known ADV (Aktosun-Demontis-Van der Mee) method to acquire explicit formulas for the N-soliton solutions to some to some nPDE's. These nPDE's are KdV, mKdV, NLS, etc. Such explicit formulas are expressed in terms of a constant matrix triplet A,B,C and by using matrix exponential. Here, A has a matrix size N×N, B has a matrix size N×1, and C has a matrix size 1×N, where N is a positive integer.